lunes, 5 de mayo de 2014



Interacción materia - energía 

Corriente eléctrica

Circuito

Un circuito es una red eléctrica (interconexión de dos o más componentes, tales como resistencias, inductores, condensadores, fuentes, interruptores y semiconductores) que contiene al menos una trayectoria cerrada. Los circuitos que contienen solo fuentes, componentes lineales (resistores, condensadores, inductores) y elementos de distribución lineales (líneas de transmisión o cables) pueden analizarse por métodos algebraicos para determinar su comportamiento en corriente directa o en corriente alterna. Un circuito que tiene componentes electrónicos es denominado un circuito electrónico. Estas redes son generalmente no lineales y requieren diseños y herramientas de análisis mucho más complejos.

Partes

Figura 1: circuito ejemplo.
  • Componente: Un dispositivo con dos o más terminales en el que puede fluir interiormente una carga. En la figura 1 se ven 9 componentes entre resistores y fuentes.
  • Nodo: Punto de un circuito donde concurren más de dos conductores. A, C, B, D, E son nodos. Nótese que C no es considerado como un nuevo nodo, puesto que se puede considerar como un mismo nodo en A, ya que entre ellos no existe diferencia de potencial o tener tensión 0 (VA - VC = 0).
  • Rama: Conjunto de todas las ramas comprendidos entre dos nodos consecutivos. En la figura 1 se hallan siete ramales: AB por la fuente, BC por R1, AD, AE, BD, BE y DE. Obviamente, por un ramal sólo puede circular una corriente.
  • Malla: Cualquier camino cerrado en un circuito eléctrico.
  • Fuente: Componente que se encarga de transformar algún tipo de energía en energía eléctrica. En el circuito de la figura 1 hay tres fuentes: una de intensidad, I, y dos de tensión, E1 y E2.
  • Conductor: Comúnmente llamado cable; es un hilo de resistencia despreciable (idealmente cero) que une los elementos para formar el circuito.

Clasificación

Los circuitos eléctricos se clasifican de la siguiente forma:
{\color{Blue}\mbox{Tipo de señal}} \quad \begin{cases} \mbox{Corriente continua} \\ \mbox{Corriente alterna} \end{cases}
{\color{Blue}\mbox{Tipo de régimen}} \quad \begin{cases} \mbox{Corriente periódica} \\ \mbox{Corriente transitoria} \\ \mbox{Permanente} \end{cases}
{\color{Blue}\mbox{Tipos de componentes}} \quad \begin{cases} \mbox{Eléctricos} \\ \mbox{Electrónicos} \quad {\begin{cases} \mbox{Digitales}\\ \mbox{Analógicos} \\ \mbox{Mixtos} \end{cases}} \end{cases}
{\color{Blue}\mbox{Tipo de configuración}} \quad \begin{cases} \mbox{Serie} \\ \mbox{Paralelo} \\ \mbox{Mixto} \end{cases}

Leyes fundamentales

Existen unas leyes fundamentales que rigen en cualquier circuito eléctrico. Estas son:
  • Ley de corriente de Kirchhoff: La suma de las corrientes que entran por un nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen por ese nodo.
  • Ley de tensiones de Kirchhoff: La suma de las tensiones en un lazo debe ser 0.
  • Ley de Ohm: La tensión en una resistencia es igual al producto del valor de dicha resistencia por la corriente que fluye a través de ella.
  • Teorema de Norton: Cualquier red que tenga una fuente de tensión o de corriente y al menos una resistencia es equivalente a una fuente ideal de corriente en paralelo con una resistencia.
  • Teorema de Thévenin: Cualquier red que tenga una fuente de tensión o de corriente y al menos una resistencia es equivalente a una fuente ideal de tensión en serie con una resistencia.
Si el circuito eléctrico tiene componentes no lineales y reactivos, pueden necesitarse otras leyes mucho más complejas. Al aplicar estas leyes o teoremas se producirá un sistema de ecuaciones lineales que pueden ser resueltas manualmente o por computadora.
  • Circuitos de corriente directa: Son aquellos circuitos donde la corriente mantiene su magnitud a lo largo del tiempo.
  • Circuitos de corriente alterna: Son aquellos circuitos donde varía cíclicamente la corriente eléctrica.
  • Circuito digital: Circuitos que trabajan con señales digitales como los computadores, los controladores lógicos programables y los relojes electrónicos, entre otros.
  • Circuito en serie: Circuito conectado secuencialmente.
  • Circuito en paralelo: Circuito donde todos los componentes coinciden entre sus terminales.
  • Circuito integrado: Pastilla de material semiconductor, de algunos milímetros cuadrados de área, sobre la que se fabrican circuitos electrónicos.
  • Circuitos de señal mixta: Contienen componentes analógicos y digitales. Los conversores analógico-digital y los conversores digital-analógico son los principales ejemplos.
  • Circuitos de primer orden: Son aquellos que contienen solo un elemento que almacena energía.
  • Diagrama electrónico: Representación pictórica de un circuito.

circuitos de corrienta alterna 


Circuito RL

Un circuito RL es un circuito eléctrico que contiene una resistencia y una bobina en serie. Se dice que la bobina se opone transitoriamente al establecimiento de una corriente en el circuito.
La ecuación diferencial que rige el circuito es la siguiente:
Circuito RL en serie.
U = L\frac{di}{dt}+R_t.i
Donde:

Régimen transitorio

La solución general, asociada a la condición inicial i_{bobina}(t=0) = 0, es:
i_{bobina} = \frac{U}{R_t}(1 - e^{-\frac{t}{\tau}})
\tau = \frac{L}{R_t}
Donde:
La constante de tiempo \tau caracteriza la « duración » del régimen transitorio. Así, la corriente permanente del circuito se establece a 1% después de una duración de 5 \tau.
Cuando la corriente se convierte en permanente, la ecuación se simplifica en U = R_t.i, ya que L\frac{di}{dt} = 0 .

Régimen sinusoidal permanente

En régimen sinusoidal permanente, el circuito puede ser caracterizado por una impedancia compleja Z de valor Z = R_t+j\omega L.


Circuito RC

Circuito RC en configuración pasa bajos.
Un circuito RC es un circuito compuesto de resistencias y condensadores alimentados por una fuente eléctrica. Un circuito RC de primer orden está compuesto de un resistor y un condensador y es la forma más simple de un circuito RC. Los circuitos RC pueden usarse para filtrar una señal, al bloquear ciertas frecuencias y dejar pasar otras. Los filtros RC más comunes son el filtro paso alto, filtro paso bajo, filtro paso banda, y el filtro elimina banda. Entre las características de los circuitos RC está la propiedad de ser sistemas lineales e invariantes en el tiempo; reciben el nombre de filtros debido a que son capaces de filtrar señales eléctricas de acuerdo a su frecuencia.
En la configuración de paso bajo la señal de salida del circuito se coge en bornes del condensador, estando este conectado en serie con la resistencia. En cambio en la configuración de paso alto la tensión de salida es la caída de tensión en la resistencia.

Este mismo circuito tiene además una utilidad de regulación de tensión, y en tal caso se encuentran configuraciones en paralelo de ambos, la resistencia y el condensador, o alternativamente, como limitador de subidas y bajas bruscas de tensión con una configuración de ambos componentes en serie. Un ejemplo de esto es el circuito Snubber.

Comportamiento en el dominio del tiempo

Carga

El sistema reaccionará de distinta manera de acuerdo a las excitaciones entrantes, como ejemplo, podemos representar la respuesta a la función escalón o la función de salto. La tensión originalmente desde el tiempo 0 subirá hasta que tenga la misma que la fuente, es decir, U_{\rm max}. La corriente entrará en el condensador hasta que entre las placas ya no puedan almacenar más carga por estar en equilibrio electrostático (es decir que tengan la misma tensión que la fuente). De esta forma una placa quedará con carga positiva y la otra con carga negativa, pues esta última tendrá un exceso de electrones.

El tiempo de carga del circuito es proporcional a la magnitud de la resistencia eléctrica R y la capacidad C del condensador. El producto de la resistencia por la capacidad se llama constante de tiempo del circuito y tiene un papel muy importante en el desempeño de este. \tau.
\tau = R \cdot C \,

Teóricamente este proceso es infinitamente largo, hasta que U(t)=Umax. En la práctica se considera que el tiempo de carga tL se mide cuando el condensador se encuentra aproximadamente en la tensión a cargar (más del 99% de ésta), es decir, aproximadamente 5 veces su constante de tiempo.
t_{L} = 5 \cdot \tau \,

La constante de tiempo τ marca el tiempo en el que la curva tangente en el inicio de la carga marca en intersección con la línea de máxima tensión la constante de tiempo τ. Este tiempo sería el tiempo en el que el condensador alcanzaría su tensión máxima si es que la corriente entrante fuera constante. En la realidad, la corriente con una fuente de tensión constante tendrá un carácter exponencial, igual que la tensión en el condensador.

La máxima corriente I_{\rm max} fluye cuando el tiempo es inicial(es decir t=0). Esto es debido que el condensador está descargado, y la corriente que fluye se calcula fácilmente a través de la ley de Ohm, con:
I_{\rm max} = \frac{U_{\rm max}}{R} \,

Respuesta natural

El circuito RC más simple que existe consiste en un condensador y una resistencia en serie. Cuando un circuito consiste solo de un condensador cargado y una resistencia, el condensador descargará su energía almacenada a través de la resistencia. La tensión o diferencia de potencial eléctrico a través del condensador, que depende del tiempo, puede hallarse utilizando la ley de Kirchhoff de la corriente, donde la corriente a través del condensar debe ser igual a la corriente a través de la resistencia. Esto resulta en la ecuación diferencial lineal:
C\frac{dV}{dt} + \frac{V}{R}=0 .
Resolviendo esta ecuación para V se obtiene la fórmula de decaimiento exponencial:
V(t)=V_0 e^{-\frac{t}{RC}} \ ,
donde V0 es la tensión o diferencia de potencial eléctrico entre las placas del condensador en el tiempo t = 0.
El tiempo requerido para el voltaje para caer hasta \frac{V_0}{e} es denominado "constante de tiempo RC" y es dado por
\tau = RC \ .

Impedancia compleja

La impedancia compleja, ZC (en ohmios) de un condensador con capacidad C (en farads) es
Z_C = \frac{1}{sC}
La frecuencia compleja s es, en general, un número complejo,
s \ = \ \sigma + j \omega
donde
j^2 = -1

Circuito en serie

Circuito en serie RC.
Viendo el circuito como divisor de tensión, el voltaje a través del condensador es:
V_C(s) = \frac{1/Cs}{R + 1/Cs}V_{in}(s) = \frac{1}{1 + RCs}V_{in}(s)
y el voltaje a través de la resistencia es:
V_R(s) = \frac{R}{R + 1/ Cs}V_{in}(s) = \frac{ RCs}{1 + RCs}V_{in}(s) .

Funciones de transferencia

La función de transferencia de desde el voltaje de entrada al voltaje a través del condensador es
H_C(s) = { V_C(s) \over V_{in}(s) } = { 1 \over 1 + RCs } .
De forma similar, la función de transferencia desde el voltaje de entrada al voltaje de la resistencia es
H_R(s) = { V_R(s) \over V_{in}(s) } = { RCs \over 1 + RCs } .

Polos y ceros

Ambas funciones de transferencia tienen un único polo localizado en
s = - {1 \over RC }  .
Además, la función de transferencia de la resistencia tiene un cero localizado en el origen.

Ganancia y fase

La magnitud de las ganancias a través de los dos componentes son:
G_C = | H_C(j \omega) | = \left|\frac{V_C(j \omega)}{V_{in}(j \omega)}\right| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\omega RC\right)^2}}
y
G_R = | H_R(j \omega) | = \left|\frac{V_R(j \omega)}{V_{in}(j \omega)}\right| = \frac{\omega RC}{\sqrt{1 + \left(\omega RC\right)^2}} ,
y los ángulos de fase son:
\phi_C = \angle H_C(j \omega) = \tan^{-1}\left(-\omega RC\right)
y
\phi_R = \angle H_R(j \omega) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\omega RC}\right) .
Estas expresiones conjuntamente pueden ser sustituidas en la usual expresión para la representación por fasores:
V_C \ = \ G_{C}V_{in} e^{j\phi_C}
V_R \ = \ G_{R}V_{in} e^{j\phi_R} .

Corriente

La corriente en el circuito es la misma en todos los puntos del circuito ya que el circuito está en serie:
I(s) = \frac{V_{in}(s) }{R + \frac{1}{Cs}} = { Cs \over 1 + RCs } V_{in}(s)

Respuesta a impulso

La respuesta a impulso para cada voltaje es la inversa de la transformada de Laplace de la correspondiente función de transferencia. Esta representa la respuesta del circuito a una entrada de voltaje consistente en un impulso o función delta de Dirac.
La respuesta impulso para el voltaje del condensador es
h_C(t) = {1 \over RC} e^{-t / RC} u(t) = { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t)
donde u(t) es la función escalón de Heaviside y
\tau \ = \ RC
De forma similar, la respuesta impulso para el voltaje de la resistencia es
h_R(t) = \delta (t) - {1 \over RC} e^{-t / RC} u(t) = \delta (t) - { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t)
donde δ(t) es la función delta de Dirac

Análisis de frecuencia

Lugar de Bode de H_C
Un análisis de frecuencia del montaje permite determinar cuáles son las frecuencias que el fitro rechaza y cuáles acepta. Para bajas frecuencias, H_C tiene un módulo cercano a 1 y una fase próxima a 0. Cuando la frecuencia aumenta, su módulo disminuye para tender a 0 mientras que la fase tiende a -\pi/2. Por el contrario, H_R posee un módulo cercano a 0 a bajas frecuencias y una fase próxima a \pi/2y cuando la frecuencia aumenta, el módulo tiende a 1 y su fase tiende a 0.
Cuando \omega \to 0 :
G_C \to 1 y \varphi_C \to 0.
G_R \to 0 y \varphi_R \to 90^{\circ} = \pi/2.
Cuando \omega \to \infty :
G_C \to 0  y \varphi_C \to -90^{\circ} = -\pi/2
G_R \to 1 y \varphi_R \to 0.
Así, cuando la salida del filtro está tomada sobre el condensador el comportamiento es de tipo filtro paso bajo: las altas frecuencias son atenuadas y las bajas frecuencias pasan. Si la salida está tomada sobre la resistencia, se produce el proceso inverso y el circuito se como un filtro paso alto.
La frecuencia de corte f_c  del circuito que define el límite tiene 3 dB entre las frecuencias atenuadas y aquéllas que no lo son; es igual a:
f_c = \frac{1}{2\pi RC} (en Hz)

Análisis temporal

Por razones de simplicidad, el análisis temporal se efectuará utilizando la transformada de Laplace p. Suponiendo que el circuito está sometido a una escalón de tensión de amplitud V de entrada ( V_{in} = 0\, para t = 0\, y V_{in} = V\, sinon) :
V_{in}(p) = \frac{V}{p}
V_C(p) = H_C(p)V_{in}(p) = \frac{1}{1 + pRC} \frac{V}{p}
V_R(p) = H_R(p)V_{in}(p) = \frac{pRC}{1 + pRC}\frac{V}{p}.
La transformada de Laplace inversa de estas expresiones resulta:
V_C(t) = V\left(1 - e^{-t/RC}\right)
V_R(t) = Ve^{-t/RC}\,.
En este caso, el condensador se carga y la tensión en los bornes tiende a V, mientras que en los bornes de la resistencia tiende a 0.
Determinación gráfica de \tau para la observación de V_C(t).
El circuito RC posee una constante de tiempo, generalmente expresado como \tau = RC\,, que representa el tiempo que toma la tensión para efectuar el 63% (1-e^{-1}) de la variación necesaria para pasar del valor inicial al final.
Igualmente es posible derivar estas expresiones de las ecuaciones diferenciales que describen el circuito:
\frac{V_{in} - V_C}{R} = C\frac{dV_C}{dt}
V_R = V_{in} - V_C\,.
Las soluciones son exactamente las mismas que aquéllas obtenidas mediante la transformada de Laplace.

Integrador

A alta frecuencia, es decir cuando \omega >> \frac{1}{RC}, el condensador no tiene tiempo suficiente para cargarse y la tensión en los bornes permanece pequeña.
Así:
V_R \approx V_{in}
y la intensidad en el circuito vale por tanto:
I \approx \frac {V_{in}}{R}.
Como,
V_C = \frac{1}{C}\int_{0}^{t}Idt
se obtiene:
V_C \approx \frac{1}{RC}\int_{0}^{t}V_{in}dt .
La tensión en los bornes del condensador integrado se comporta como un filtro de paso-bajo.

Derivador

A baja frecuencia, es decir cuando \omega << \frac{1}{RC}, el condensador tiene el tiempo de cargarse casi completamente.
Entonces,
I \approx \frac{V_{in}}{1/j\omega C}
V_{in} \approx \frac{I}{j\omega C} \approx V_C
Ahora,
V_R = IR = C\frac{dV_C}{dt}R
V_R \approx RC\frac{dV_{in}}{dt}.
La tensión en los bornes de la resistencia derivado se comporta como un filtro de paso-alto.

Circuito en paralelo

Un circuito RC en paralelo.
El circuito RC en paralelo generalmente es de menor interés que el circuito en serie. Esto es en gran parte debido a que la tensión de salida V_{out} es igual a la tensión de entrada V_{in} — como resultado, el circuito no actúa como filtro de la señal de entrada sino es alimentado por una fuente de corriente.
Con impedancias complejas:
I_R = \frac{V_{in}}{R}\,
y
I_C = j\omega C V_{in}\, .
Esto muestra que la corriente en el condensador está desfasada 90º de fase con la resistencia (y la fuente de corriente). Alternativamente, las ecuaciones diferenciales de gobierno que pueden usarse son:
I_R = \frac{V_{in}}{R}
y
I_C = C\frac{dV_{in}}{dt} .
Cuando es alimentado por una fuente de corriente, la función de transferencia de un circuito RC en paralelo es:
\frac{V_{out}}{I_{in}} = \frac{R}{1+sRC} .



Circuito RLC

En electrodinámica un circuito RLC es un circuito lineal que contiene una resistencia eléctrica, una bobina (inductancia) y un condensador (capacitancia).
Existen dos tipos de circuitos RLC, en serie o en paralelo, según la interconexión de los tres tipos de componentes. El comportamiento de un circuito RLC se describen generalmente por una ecuación diferencial de segundo orden (en donde los circuitos RC o RL se comportan como circuitos de primero orden).
Con ayuda de un generador de señales, es posible inyectar en el circuito oscilaciones y observar en algunos casos el fenómeno de resonancia, caracterizado por un aumento de la corriente (ya que la señal de entrada elegida corresponde a la pulsación propia del circuito, calculable a partir de la ecuación diferencial que lo rige).

Circuito RLC en serie

Circuito RLC en serie.

Circuito sometido a un escalón de tensión

Si un circuito RLC en serie es sometido a un escalón de tensión E \, , la ley de las mallas impone la relación:
E = u_C + u_L + u_R = u_C + L \frac{di}{dt} + R_ti
Introduciendo la relación característica de un condensador:
i_C = i = C \frac{du_C}{dt}
Se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden:
E = u_C + LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + R_tC \frac{du_C}{dt}
Donde:
En el casos de un régimen sin pérdidas, esto es para R_t = 0 \, , se obtiene una solución de la forma:
u_c = E \cos \left( \frac{2 \pi t}{T_0} + \varphi \right)
T_0 = 2\pi \sqrt{LC}
Donde:
  • T0 el periodo de oscilación, en segundos;
  • φ la fase en el origen (lo más habitual es elegirla para que φ = 0)
Lo que resulta:
f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}
Donde f_0 es la frecuencia de resonancia, en hercios (Hz).

Circuitos sometidos a una tensión sinusoidal

La transformación compleja aplicada a las diferentes tensiones permite escribir la ley de las mallas bajo la forma siguiente:
\underline {U_G} = \underline {U_C} +\underline {U_L} +\underline {U_R}
siendo, introduciendo las impedancias complejas:
\underline {U_G} = - \frac{j}{C \omega} \underline I + j L \omega \underline I + R_{t} \underline I = \bigg[ R_t + j \frac{LC \omega^2 - 1}{C \omega} \bigg] \underline I
La frecuencia angular de resonancia en intensidad de este circuito ω0 es dada por:
\omega_0= \frac{1}{\sqrt{LC}}
Para esta frecuencia la relación de arriba se convierte en:
\underline {U_G} = \underline {U_R} = R_t \underline I
y se obtiene: \underline {U_L} = - \underline {U_C} = \frac{j}{R_t} \sqrt{\frac{L}{C}} \underline {U_G}

Circuito RLC en paralelo

Circuito RLC en paralelo.
i_r = \frac{u}{R}
\frac{di_l}{dt} = \frac{u}{L}
i_c = \frac{dq}{dt} = C \frac{du}{dt}
ya que  q = C u\,
i = i_r + i_l + i_c \,
\frac{di}{dt} = C \frac{d^2u}{dt^2} + \frac{1}{R} \frac{du}{dt} + \frac{u}{L}
Atención, la rama C es un corto-circuito: no se pueden unir las ramas A y B directamente a los bornes de un generador E, se les debe adjuntar una resistencia.
Las dos condiciones iniciales son:
  • i_{l0} \, conserva su valor antes de la puesta en tensión (porque la inductancia se opone a la variación de corriente).
  • q_0 \, conserva su valor antes de la puesta en tensión  u_0 = \frac{q_0}{C}.

Circuito sometido a una tensión sinusoidal

La transformación compleja aplicada a las diferentes intensidades proporciona:
\underline I=\underline {I_r} + \underline {I_l} +\underline {I_c}
Siendo, introduciendo las impedancias complejas:
\underline I = \frac{1}{R} \underline U + \frac{1}{j L \omega} \underline U + j C \omega \underline U
siendo : \underline I = \left[ \frac{1}{R} + j (C \omega - \frac{1}{L \omega}) \right] \underline U
La frecuencia angular de resonancia en intensidad de este circuito ω0 es dada por:
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}
Para esta frecuencia la relación de arriba se convierte en:
\underline I = \underline {I_r} = \frac{1}{R}\underline U
y se obtiene: \underline {I_c} = -\underline {I_l} = j \sqrt{ \frac{C}{L}} \underline U

Utilización de los circuitos RLC

Los circuitos RLC son generalmente utilizados para realizar filtros de frecuencias, o de transformadores de impedancia. Estos circuitos pueden entonces comportar múltiplesinductancias y condensadores: se habla entonces de "red LC".
Un circuito LC simple es denominado de segundo orden porque su función de transferencia comporta un polinomio de segundo grado en el denominador.
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